Wie Löst Man Probleme Mit Einem When-Fehler Mit Der Kutta-Runen-Methode?

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Manchmal zeigt Ihr System tatsächlich einen Fehler an, der eine globale Error Rune Kutta-Methode angibt. Allein für dieses Problem kann es mehrere Gründe geben.

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Runge-Kutta-Methoden

Wo finde ich Fehler im Runge-Kutta-Verfahren?

Der verfügbare Fehler in einem Schritt der höheren Methode ist Euler über C’h3, während der Fehler auf der exklusiven Stufe der Runge-Kutta-Methode dritter Ordnung ebenfalls über C″h4 liegt, wobei C′ und C″ Konstanten sind, die machen es wäre, das Problem eindeutig zu lösen. aber es nicht neu hinzufügen increment.C″h4 ist viel kompakter als C′h3.

Diskussion

Euler-Methode Basic auf dieser erweiterten MethodeEuler-Methodegrundlegende Beispiele der gleichen Familie vs. numerische MethodenVerarbeitung grober Differentialgleichungen namens Runge-KuttaMethoden. diesen Abschnitt erlaube ich wirklich

Dritte SeiteVierte

Was sind die zweifellosen Einschränkungen der Runge-Kutta-Methode?

Die Hauptnachteile der Runge-Kutta-Methoden bestehen darin, dass sie zwar nicht ohne weiteres genaue globale Schätzungen des Abschneidefehlers liefern, aber viel mehr Rechenzeit erfordern als sehr mehrstufige Methoden mit vergleichbarer Genauigkeit.

runge-kutta-BefehlMethoden und so siehe Runge-Kutta darüber, wie Techniken sindentwickelt.euler

globale Störung Runge-Kutta-Methode

Das Geheimnis und die verbesserte Euler-Methode versuchen zu konvergieren$y(x_0+h)$ miteinander, wobei die Steigung von $m$ über die Sekante geschätzt wird$(x_0,y(x_0))$ zu $(x_0+h,y(x_0+h))$ durch die genaue Formel$y(x_0+h)=y(x_0)+mh$ (siehe Arbeit 1).

Der Ablauf approximiert die Eulersche Steigung la fast aller Sekanten um die Steigung la.Tangente mit dem reellen linken $(x_0,y(x_0))$ Ende. inDie Alternative von Euler verwendet den Mittelwert der Hauptneigungen am linken Rand und .ungefähres rechtes Ende (normalerweise durchdachtes Ende) rechts.nach dem Euler-Verfahren) für die Steigungen der Hauptsekantennäherung. wirsollte hier nicht aufhören. Wir können immer neigenVerschiedene finden Innenmaterial und berechnen gewichtete Durchschnittswerte, die sich zuvor näherndie Steigung seiner Tangente. Annäherung im Zusammenhang mit numerischen Methoden Jeder unsererLösung zu Differentialgleichungen, in denen fast immer Moden genannt werdenRunge Kutta basiert auf den Möglichkeiten von Mathematikern und Runge Kutta). Runge Kutta

Methode dritter Ordnung

Diese Methode verwendet meine Um-Euler-Methode für neue Suchen.der angenommene Mittelpunkt der Sekante, zusätzlich dann der gewichtete PunktDurchschnitt über unsere eigenen Pisten am linken und dazu rechten Ende undFokus. Beachten Sie, dass in der Instanz $f(x,y)$ nur eine Feier $f(x)$ Alone ist,Dann bezieht sich $x$ auf diese spezielle Differenzialgleichung $displaystylefracdydx=f(x)$wertet F(x)quad Integral aus$displaystyleint_x_0^x_1 dx$. DarinIn diesem Fall ist das Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung identisch mit der Simpson-Regel.numerisch durch die Annäherung Ihres aktuellen Integrals aus 2 Berechnungen. Genauso wie EulerMethode und unsere eigene verbesserte Euler-Methode RK3 bedeutet, dass sie erfolgreich angepasst werden kannin der Tabelle. Der erste Platz eines schönen Bildes für The rk3 Techniquesangewandt auf $displaystylefracdydx=2xy$, $y(0)=1$ zeigt die Seite unten an. NotizDies ist eine Aufgabe von Übung 1, also werden Sie auf jeden Fall diese einfache Tabelle dafür verwendenÜberprüfen Sie die Übung selbst.

Runge-Kutta-Verfahren noch vierter Ordnung

Was ist der tatsächliche Abschneidefehler in der Runge-Kutta-Methode?

Runge-Kutta (RK)-Techniken sind eine Klasse von Verfahren, die Steigungsinformationen an mehr als einem Punkt verwenden, um eine mögliche zukünftige Zeitschrittlösung zu finden. Der Abschneidefehler zum lokalen Bereich für die Euler-Verarbeitung ist O(h2), was zu einer neuen numerischen Folge von Primärmethoden führt.

Wie im Fall des Euler-Verfahrens und der erhabenen Methode Whom Euler,Wir wiederholen, kann ich sagen, dass der Suchprozess $x_2=x_1+h=x_0+2h$ un neben $y_2about liegty(x_2)=y(x_0+2h)$ und so weiter. Runge-Kutta-Blaupause vierter Ordnung.Die oben aufgeführten sind in der Regel leistungsfähig genug, um eine beliebte Methode für Formeln zu seinpraktisch (und nur nicht zu Zwecken) erbaulich.Die Schritte sollen Ihnen wirklich helfen, auf jedem unserer Computer zu programmieren, kreisen Sie sie einfach eindurch den fundamentalen Algorithmus so oft wie nötig, um ein Relativ zu erhaltenWerte, die Sie wieder ansprechen. Erster Teil des RK4-ArbeitsblattsMethodeangewendet auf den aktuellen Markt $displaystylefracdydx=2xy$, $y(0)=1$ ist unten gezeigt. ProblemhinweisDies ist nur für Übung 2. Sie können diese Tabelle verwendenum deine Wünsche zu sehen.

Übungen

  1. Verwenden Sie einen Runge-Kutta-Prozessschritt dritter Ordnung mit den Dimensionen $h=0,1$ und$h=0 zusammen mit .05$ nähert $y(2)$ des ursprünglichen Problems an$displaystylefracdydx=2xy$, Wert ce $y(0)=1$.Finden Sie Fehler in zwei Näherungen.
  2. verwenden

  3. Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung mit $h=0.1$-Weg und damit$h=0.To 05$ nähert sich $y(2)$, um das gesamte ursprüngliche Problem zu lösen$displaystylefracdydx=2xy$, Gaffe-Preis $y(0)=1$in beiden Näherungen finden.
  4. anzeigen

  5. dass $y(b)$ durch meinen dritten Schritt angenähert wirdRunge-Kutta-Punktverfahren für Anfangswertzustand$displaystylefracdydx=f(x)$, ergibtso $y(a)=y_0$ ist die gleiche Situation wie Simpsons Geheimnis$displaystyleint_a^b dx f(x)quad.$ — Simpson-RegelIhr Schreiben über den Berechnungsleitfaden (oder wenn Kunden Ihr Buch möglicherweise nicht habenmehr, keine anderen